Конечно-разностная аппроксимация уравнения потенциальной завихренности для стратифицированной несжимаемой жидкости и пример его использования при расчете циркуляции Черного моря. Часть I. Дифференциально-разностное уравнение потенциальной завихренности идеальной жидкости

С. Г. Демышев

Морской гидрофизический институт РАН, Севастополь, Россия

e-mail: demyshev@gmail.com

Аннотация

Цель. Выведены дискретные уравнения абсолютной и потенциальной завихренности для трехмерной стратифицированой несжимаемой жидкости как точное следствие конечно-разностных уравнений динамики моря в поле потенциальной массовой силы в адиабатическом приближении при условии отсутствия вязкости и диффузии. Проанализированы свойства двумерных проекций уравнения абсолютной завихренности на координатные плоскости и трехмерного уравнения потенциальной завихренности.

Методы и результаты. Для определения дискретных аналогов абсолютной завихренности и потенциальной завихренности вводится дополнительная сетка, на которой выписываются конечно-разностные уравнения для компонент абсолютной завихренности и составляющих потенциальной завихренности. Получены двумерные аналоги трехмерного уравнения вихря в плоскостях (x, y), (y, z) и (x, z), обладающие свойством сохранения вихря, энергии и энстрофии (квадрата завихренности). Из разностной системы трехмерных уравнений динамики моря в адиабатическом приближении при отсутствии вязкости и диффузии выводится дискретное уравнение для потенциальной завихренности стратифицированной несжимаемой жидкости.

Выводы. В случае линейного уравнения состояния получены дискретные уравнения абсолютной завихренности и потенциальной завихренности, которые являются точным следствием конечно-разностной постановки. Уравнение потенциальной завихренности имеет дивергентный вид, двумерные аналоги уравнения завихренности на плоскостях (x, y), (y, z), (x, z) обладают двумя квадратичными инвариантами, что обеспечивает сохранение среднего волнового числа.

Ключевые слова

дискретные уравнения, динамика моря, кинетическая энергия, вихрь, потенциальная завихренность, инвариант Эртеля

Благодарности

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Российского научного фонда 23-27-00141.

Для цитирования

_Демышев С. Г. _Конечно-разностная аппроксимация уравнения потенциальной завихренности для стратифицированной несжимаемой жидкости и пример его использо-вания при расчете циркуляции Черного моря. Часть I. Дифференциально-разностное уравне-ние потенциальной завихренности идеальной жидкости // Морской гидрофизический журнал. 2024. Т. 40, № 2. С. 165–179. EDN BCKKBN.

Demyshev, S.G., 2024. Finite-Difference Approximation of the Potential Vorticity Equation for a Stratified Incompressible Fluid and an Example of its Application when Modeling the Black Sea Circulation. Part I. Finite-Difference Equation of Potential Vorticity of Ideal Fluid. Physical Oceanography, 31(2), pp. 149-160.

Список литературы

  1. Rossby C.-G. Planetary flow patterns in the atmosphere // Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society. 1940. Vol. 66, iss. S1. P. 68–87. https://doi.org/10.1002/j.1477-870X.1940.tb00130.x
  2. Ertel H. Ein neuer hydrodynamischer Wirbelsatz // Meteorologische Zeitschrift. 1942. Vol. 59, no. 9. S. 277–281.
  3. Hoskins B. J., McIntyre M. E., Robertson A. W. On the use and significance of isentropic potential vorticity maps // Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society. 1985. Vol. 111, iss. 470. P. 877–946. https://doi.org/10.1002/qj.49711147002
  4. Жмур В. В., Новоселовa Е. В., Белоненко Т. В. Потенциальная завихренность в океане: подходы Эртеля и Россби с оценками для Лофотенского вихря // Известия Российской академии наук. Физика атмосферы и океана. 2021. Т. 57, № 6. С. 721–732. EDN SRKASA. https://doi.org/10.31857/S0002351521050151
  5. Капцов Е. И. Численная реализация инвариантной схемы для одномерных уравнений мелкой воды в лагранжевых координатах // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2019. № 108. С. 1–28. EDN DHLHXH. https://doi:10.20948/prepr-2019-108
  6. Bihlo A., Popovych R. O. Invariant discretization schemes for the shallow-water equations // SIAM Journal on Scientific Computing. 2012. Vol. 34, no. 6. P. B810–B839. https://doi.org/10.1137/120861187
  7. Efficient discretizations for the EMAC formulation of the incompressible Navier–Stokes equations / S. Charnyi [et al.] // Applied Numerical Mathematics. 2019. Vol. 141. P. 220–233. https://doi.org/10.1016/j.apnum.2018.11.013
  8. Sorgentone C., La Cognata C., Nordstrom J. A new high order energy and enstrophy conserving Arakawa-like Jacobian differential operator // Journal of Computational Physics. 2015. Vol. 301. P. 167–177. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2015.08.028
  9. Arakawa A., Lamb V. R. A potential enstrophy and energy conserving scheme for the shallow water equations // Monthly Weather Review. 1981. Vol. 109, iss. 1. P. 18–36. https://doi.org/10.1175/1520-0493(1981)109%3C0018:APEAEC%3E2.0.CO;2
  10. Salmon R. A general method for conserving quantities related to potential vorticity in numerical models // Nonlinearity. 2005. Vol. 18, no. 5. P. R1–R16. https://doi.org/10.1088/0951-7715/18/5/R01
  11. Sugibuchi Y., Matsuo T., Sato S. Constructing invariant-preserving numerical schemes based on Poisson and Nambu brackets // JSIAM Letters. 2018. Vol. 10. P. 53–56. https://doi.org/10.14495/jsiaml.10.53
  12. Arakawa A. Computational design for long-term numerical integration of the equations of fluid motion: Two-dimensional incompressible flow. Part I // Journal of Computational Physics. 1966. Vol. 1, iss. 1. P. 119–143. https://doi.org/10.1016/0021-9991(66)90015-5
  13. Демышев С. Г. Энергетика климатической циркуляции Черного моря. Ч. I. Дискретные уравнения скорости изменения кинетической и потенциальной энергий // Метеорология и гидрология. 2004. № 9. С. 65–80. EDN PGCNXF.
  14. Демышев С. Г. Численные эксперименты по сопоставлению двух конечно-разностных схем для уравнений движения в дискретной модели гидродинамики Черного моря // Морской гидрофизический журнал. 2005. № 5. C. 47–59. EDN YURAEH.
  15. Демышев С. Г. Нелинейные инварианты дискретной системы уравнений динамики моря в квазистатическом приближении // Морской гидрофизический журнал. 2023. Т. 39, № 5. С. 557–583. EDN JWSUUM.

Скачать статью в PDF-формате