Новый численный алгоритм для уравнений многослойной мелкой воды на основе гиперболической декомпозиции и схемы КАБАРЕ

В. М. Головизнин✉, Павел А. Майоров, Петр А. Майоров, А. В. Соловьев

Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН, Москва, Россия

✉ e-mail: gol@ibrae.ac.ru

Аннотация

Цель. Описание новой методики численного решения уравнений гидродинамики несжимаемой жидкости со свободной границей и переменной плотностью в гидростатическом приближении – цель настоящей работы.

Методы и результаты. Алгоритм основан на методе гиперболической декомпозиции – представлении многослойной среды в виде отдельных слоев, взаимодействующих через границы раздела. Силы, действующие на верхнюю и нижнюю границы каждого слоя, трактуются как внешние, не нарушающие свойства гиперболичности системы уравнений для каждого слоя. Для решения системы гиперболических уравнений с переменной плотностью в каждом слое используется явная схема КАБАРЕ. Схема имеет второй порядок аппроксимации и обратима по времени. Ее особенностью является повышенное число степеней свободы – наряду с консервативными переменными, определенными в центрах расчетных ячеек, используются потоковые переменные, отнесенные к серединам граней. Система уравнений многослойной мелкой воды не является безусловно гиперболической и при потере гиперболичности становится некорректной. Гиперболическая декомпозиция не устраняет некорректности исходной системы. Для регуляризации численного решения предлагается использовать следующий набор средств: фильтрацию на каждом временном шаге потоковых переменных скорости, плотности и толщины слоя; сверхнеявную аппроксимацию градиента давления; линейную искусственную вязкость; переход к эйлерово-лагранжевым (СЭЛ) переменным, приводящий к обмену между слоями массой и импульсом. Основным средством, стабилизирующим численное решение на больших временах, является переход к СЭЛ-переменным. Остальные приемы вспомогательные и используются для тонкой настройки.

Выводы. Показано, что для обеспечения регуляризации и гарантированной устойчивости задач необходимо не только перестраивать расчетную сетку на каждом временном шаге, но также использовать фильтрацию потоковых переменных и искусственную вязкость, моделирующую турбулентное перемешивание.

Ключевые слова

нестационарная гидродинамика, свободная поверхность, гидростатическое приближение, некорректные задачи, переменная плотность, численный алгоритм, гиперболическая декомпозиция, схема КАБАРЕ

Благодарности

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РНФ № 18-11-00163. Авторы выражают благодарность В. Б. Залесному и Е. В. Семенову за плодотворные обсуждения и конструктивные замечания.

Для цитирования

Новый численный алгоритм для уравнений многослойной мелкой воды на основе гиперболической декомпозиции и схемы КАБАРЕ / В. М. Головизнин [-и др.] // Морской гидрофизический журнал. 2019. Т. 35, № 6. С. 600–620. EDN XDAFQF. doi:10.22449/0233-7584-2019-6-600-620

Goloviznin, V.M., Maiorov, Pavel A., Maiorov, Petr A. and Solovjov A.V., 2019. New Numerical Algorithm for the Multi-Layer Shallow Water Equations Based on the Hyperbolic Decomposition and the CABARET Scheme. Physical Oceanography, 26(6), pp. 528-546. doi:10.22449/1573-160X-2019-6-528-546

DOI

10.22449/0233-7584-2019-6-600-620

Список литературы

  1. Марчук Г. И., Дымников В. П., Залесный В. Б. Математические модели в геофизической гидродинамике и численные методы их реализации. Л. : Гидрометеоиздат, 1987. 296 с.
  2. Numerical simulation of large-scale ocean circulation based on the multicomponent splitting method / V. B. Zalesny [et al.] // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2010. Vol. 25, iss. 6. Р. 581–609. https://doi.org/10.1515/RJNAMM.2010.036
  3. Информационно-вычислительные технологии – новый этап развития оперативной океанографии / Г. И. Марчук [и др.] // Известия Российской академии наук. Физика атмосферы и океана. 2013. Т. 49, № 6. С. 629–642. https://doi.org/10.7868/S0002351513060114
  4. Доценко С. Ф., Залесный В. Б., Санникова Н. К. В. Модульный подход к расчету циркуляции и приливов в Черном море // Морской гидрофизический журнал. 2016. № 1. С. 3–19. https://doi.org/10.22449/0233-7584-2016-1-3-19
  5. Залесный В. Б., Гусев А. В., Фомин В. В. Численная модель негидростатической морской динамики, основанная на методах искусственной сжимаемости и многокомпонентного расщепления // Океанология. 2016. Т. 56, № 6. С. 951–971. https://doi.org/10.7868/S0030157416050178
  6. Новые алгоритмы вычислительной гидродинамики для многопроцессорных вычислительных комплексов / В. М. Головизнин [и др.]. М. : Изд-во МГУ, 2013. 467 с.
  7. Audusse E. A multilayer Saint-Venant model: Derivation and numerical validation // Discrete & Continuous Dynamical Systems – B. 2005. Vol. 5, iss. 2. P. 189–214. https://doi.org/10.3934/dcdsb.2005.5.189
  8. Audusse E., Bristeau M.-O. Finite-Volume Solvers for a Multilayer Saint-Venant System // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. 2007. Vol. 17, no. 3. Р. 311–320. https://doi.org/10.2478/v10006-007-0025-0
  9. Овсянников Л. В. Модели двухслойной "мелкой воды" // Прикладная механика и техническая физика. 1979. Т. 20, № 2. С. 3–14.
  10. Duchêne V. A note on the well-posedness of the one-dimensional multilayer shallow water model. 2013. URL: https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00922045/document (date of access: 12.07.2019).
  11. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability. London : Oxford University Press, 1961. 652 p.
  12. Чухарев А. М., Руновский К. В., Кульша О. Е. Моделирование статистического распределения турбулентных пятен в стратифицированных слоях океана // Морской гидрофизический журнал. 2017. № 5. С. 35–46. https://doi.org/10.22449/0233-7584-2017-5-35-46
  13. Методы расчета турбулентных течений / Дж. Ламли [и др.]. М. : Мир, 1984. 463 с.
  14. A multilayer Saint-Venant system with mass exchanges for shallow water flows. Derivation and numerical validation / E. Audusse [et al.] // ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis. 2011. Vol. 45, no. 1. P. 169–200. https://doi.org/10.1051/m2an/2010036
  15. A fast finite volume solver for multi-layered shallow water flows with mass exchange / E. Audusse [et al.] // Journal of Computational Physics. 2014. Vol. 272. P. 23–45. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2014.04.026
  16. Hirt C. W., Amsden A. A., Cook J. L. An Arbitrary Lagrangian Eulerian computing method for all flow speeds // Journal of Computational Physics. 1974. Vol. 14, iss. 3. P. 227–253. https://doi.org/10.1016/0021-9991(74)90051-5
  17. Ringler T. D., Randall D. A. The ZM Grid: An Alternative to the Z Grid // Monthly Weather Review. 2002. Vol. 130, no. 5. P. 1411–1422. https://doi.org/10.1175/1520-0493(2002)1301411:TZGAAT2.0.CO;2
  18. Approximation of the hydrostatic Navier-Stokes system for density stratified flows by a multilayer model: Kinetic interpretation and numerical solution / E. Audusse [et al.] // Journal of Computational Physics. 2011. Vol. 230, iss. 9. P. 3453–3478. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2011.01.042
  19. Stewart A. L., Dellar P. J. Multilayer shallow water equations with complete Coriolis force. Part 1. Derivation on a non-traditional beta-plane // Journal of Fluid Mechanics. 2010. Vol. 651. P. 387–413. https://doi.org/10.1017/S0022112009993922
  20. Bermudez A., Vazquez Ma. E. Upwind methods for hyperbolic conservation laws with source terms // Computers & Fluids. 1994. Vol. 23, iss. 8. P. 1049–1071. https://doi.org/10.1016/0045-7930(94)90004-3
  21. Toro E. F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Berlin : Springer-Verlag, 2009. 724 p. doi:10.1007/b79761
  22. Karabasov S. A., Goloviznin V. M. Compact accurately boundary-adjusting high-resolution technique for fluid dynamics // Journal of Computational Physics. 2009. Vol. 228, iss. 19. P. 7426–7451. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2009.06.037
  23. Головизнин В. М., Канюкова В. Д., Самарская Е. А. Сверхнеявные разностные схемы газовой динамики // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19, № 7. С. 1186–1197. URL: http://www.mathnet.ru/links/23381b18a4caaff660036527679f7476/de4901.pdf (дата обращения: 12.07.2019).
  24. Головизнин В. М., Исаков В. А. Применение балансно-характеристической схемы для решения уравнений мелкой воды над неровным дном // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2017. Т. 57, № 7. С. 1142–1160. https://doi.org/10.7868/S0044466917070092
  25. Рихтмайер Р. Д., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М. : Мир, 1972. С. 300–304.
  26. Головизнин В. М. Об одном способе введения искусственной диссипации в вариационно-разностные схемы магнитной гидродинамики // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1982. Т. 22, № 1. С. 144–150. URL: http://mi.mathnet.ru/zvmmf5796 (дата обращения: 11.07.2019).
  27. Goloviznin V. M., Solovjov A. V., Zalesny V. B. A new algorithm for solving the shallow water equations on the sphere based on the cabaret scheme // Journal of Physics: Conference Series. 2018. Vol. 1128. 012091. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1128/1/012091
  28. Evtushenko Y. G., Gorchakov A. Y., Goloviznin V. M. Fast automatic differentiation in problems variations four-dimensional data assimilation (4Dvar) // Journal of Physics: Conference Series. 2018. Vol. 1128. 012001. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1128/1/012001
  29. Ведерников А. Б., Холодов А. С. Численное моделирование течений двух- и трехслойной жидкости в рамках модели мелкой воды // Математическое моделирование. 1990. Т. 2, № 6. С. 9–18. URL: http://mi.mathnet.ru/mm2375 (дата обращения: 11.07.2019).
  30. Kurganov A., Petrova G. Central-Upwind Schemes for Two-Layer Shallow Water Equations // SIAM Journal on Scientific Computing. 2009. Vol. 31, iss. 3. Р. 1742–1773. https://doi.org/10.1137/080719091
  31. Елизарова Т. Г., Иванов А. В. Квазигазодинамический алгоритм численного решения двухслойных уравнений мелкой воды // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2016. № 69. 27 с. doi:10.20948/prepr-2016-69
  32. Shankar N. J., Cheong H. F., Sankaranarayanan S. Multilevel finite-difference model for three-dimensional hydrodynamic circulation // Ocean Engineering. 1997. Vol. 24, iss. 9. P. 785–816. https://doi.org/10.1016/S0029-8018(96)00036-4
  33. Bouchut F., Zeitlin V. A robust well-balanced scheme for multi-layer shallow water equations // Discrete and Continuous Dynamical Systems-Series B. 2010. Vol. 13, iss. 4. P. 739–758. http://doi.org/10.3934/dcdsb.2010.13.739
  34. Couderc F., Duran A., Vila J.-P. An explicit asymptotic preserving low Froude scheme for the multilayer shallow water model with density stratification // Journal of Computational Physics. 2017. Vol. 343. P. 235–270. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2017.04.018

Скачать статью в PDF-формате

Мы используем Яндекс Метрику. Подробнее.